martedì 31 gennaio 2012

Leggende della metropolitana giapponese, ovvero la statistica dei passeggeri.

Eventi apparentemente inspiegabili e contro logica sono spesso causa di leggende metropolitane e di racconti bizzarri: molto spesso sono in realtà  dovuti alle ben più prosaiche leggi della statistica. Uno di questi, è l'apparente difficoltà dei giapponesi a sedersi accanto ad uno straniero, lasciando libero il posto o i posti accanto a lui. Anche se in alcuni rari casi è possibile che ciò sia un atto voluto, è spesso dovuto alle semplici leggi del caso.

Esaminiamo un caso ancora più raro della "fuga dallo straniero": viaggiando nei treni dell'area di Tokyo, si può talvolta osservare tutti i passeggeri di un lato del vagone (che pur non si conoscono tra loro) scendere  alla stessa stazione, mentre quelli di fronte proseguono nel loro viaggio. Per calcolare la probabilità che ciò accada è necessario ricordare che la maggior parte dei treni metropolitani giapponesi ha quattro porte per lato, 54  posti a sedere ed un numero pressoché illimitato di posti in piedi nell'ora di punta. Ai lati del vagone vi sono 6 posti riservati a persone anziane, incinte o disabili, (tre per lato), ed al centro vi sono sei gruppi di 7 posti.

Una delle estremità di un vagone: tre sedili per lato. 


Qual'è la possibilità che tre persone da un lato scendano e le tre di fronte rimangano sul treno? Non è così eccezionale come si potrebbe immaginare:  se chiamiamo p la probabilità che una persona scenda ad una data stazione, la probabilità che quella persona non scenda è 1-p (oppure se P è la percentuale di persone che scendono 100-P è la percentuale di persone che rimangono).
La possibilità che tre persone scendano da un lato è dunque p*p*p=p3. Se voglio che  altre 3 persone non scendano la probabilità  è (1-p)*(1-p)*(1-p). La probabilità che tre persone scendano da un lato e le tre di fronte non scendano è  p 3*(1-p)3.
Il vagone del treno prima della stazione (sopra): in rosso i
sedili pieni ed in blu quelli vuoti. Alla stazione (sotto)- dei sei posti laterali
(sulla sinistra) scendono solo i viaggiatori che stanno da un lato 


Ora supponiamo che ad una stazione scenda il 50% delle persone: in questo caso la configurazione "impossibile" ha una probabilità di (0.5*0.5*0.5*0.5*0.5*0.5=0.5^6)=0.0156 ossia l'1.56% . E' come se - tirando una moneta  per sei volte di fila, capiti di fare tre volte testa di fila e poi tre volte croce. 
La probabilità che solo una parte dei viaggiatori
scenda (asse Y), in funzione della probabilità
di scendere  di una singola persona
ad una data stazione (asse X, moltiplicare per 100
per avere la percentuale).
Dall'ottimo sito di wolfram alpha
Se si percorre una ventina di stazioni al giorno la probabilità è dunque 1.56%*20=0.315 ossia poco più del 30%, e dunque non così rara...
Se la probabilità  di scendere è più alta (nelle stazioni principali) o più bassa (in quelle meno affollate) la configurazione "magica" avrà meno possibilità di apparire:  basta pensare ai casi estremi. Infatti  se tutti scendono o se nessuno scende ad una data stazione è impossibile che metà delle persone resti a bordo e metà scenda. Per tutte le vie di mezzo l'andamento è descritto dalla formula sopra e mostrato in figura accanto.

E per i sedili centrali? In quel caso la probabilità che 7 persone da un lato scendano e tutte quelle di fronte rimangano sul treno è 0.514  =6*10-5 ossia lo 0.006%. (nota, avevo scritto 0.5^7, mentre è alla 14, 7 da una parte e sette dall'altra, ma la probabilità è giusta). Praticamente impossibile? Sì, ma se consideriamo un treno di 10 vagoni che transita  ogni 5 minuti per 20 ore al giorno ed un centinaio di linee di metro e ferroviarie, abbiamo circa 10 milioni di possibilità (9.6 milioni), per cui l'evento impossible si verifica  almeno 60 volte al giorno nell'area di Tokyo.


Un ringraziamento ad Alessandro Clementi ed Andrea Secco per gli interessanti spunti e discussioni. Grazie ad Alessandro per essersi accorto che l'esponente nel caso dei sedili lunghi è 14 e non 7.