Cos'è l'equazione di Dirac

L'equazione di Dirac incisa sul pavimento dell’abbazia di Westminster (da wiki).

L’equazione di Dirac rappresenta, nel linguaggio  della meccanica quantistica, l’energia di una particella elementare. È utilizzabile per particelle di spin ½, come ad esempio gli elettroni e i quark e fu formulata per la prima volta nel 1928 dall’allora venticinquenne Paul Dirac.

Nel mondo microscopico non è possibile parlare di posizione e velocità delle particelle ma è necessario descriverne il comportamento tramite una funzione d’onda (secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg).

Il quadrato della funzione rappresenta la probabilità di trovare un elettrone in una data regione dello spazio e a un certo istante. In questa maniera è possibile per esempio descrivere gli orbitali elettronici degli atomi, nuvole di probabilità in cui si trovano gli elettroni. Più alta è l’energia dell’elettrone, più lontana dal nucleo è la densità di probabilità. È questa una delle differenze con il modello atomico stile sistema solare: in un orbitale atomico, infatti, l’elettrone non si muove da un punto all’altro dello spazio e non ruota attorno al nucleo, ma è disperso in questa nuvola di probabilità. Se così non fosse, l’accelerazione dell’elettrone gli farebbe emettere radiazione elettromagnetica come in un antenna televisiva e l’elettrone cadrebbe sul nucleo. Infatti anche i pianeti che ruotano intorno al sole emettono onde gravitazionali, ma esse sono troppo deboli per essere rivelate e servono sistemi binari molto massicci e vicini tra loro, come due buchi neri, per emettere onde misurabili.

Anche l’antecedente equazione di Schroedinger (1925-26) è l’espressione quantistica dell’energia, ma non obbedisce alla leggi della relatività speciale. Infatti utilizza l’espressione classica dell’energia (vedi sotto le formule pizzose). Nel caso relativistico la formula dell’energia è quella di Einstein, che però ha anche soluzioni ad energia apparentemente negativa.

Dirac voleva conciliare relatività speciale e meccanica quantistica ma si rese conto che non era possibile generalizzare l’equazione di Schroedinger con una sola equazione ma ne erano necessarie almeno 4. Due soluzioni di questo sistema rappresentano oggetti ad energia positiva, uno con spin +½ e uno con spin -½. In analogia con la meccanica classica possiamo immaginare il nostro elettrone come un oggetto che può ruotare in senso orario (spin +½) ed antiorario (spin -½). L’introduzione dello spin permetteva – tra l’altro - di spiegare in maniera più accurata il comportamento degli elettroni atomici, per esempio il fatto che fosse possibile avere due elettroni nello stesso orbitale.

Restavano due soluzioni a energia negativa che non sembravano avere una controparte osservabile in natura. Per ovviare a questo apparente paradosso, il fisico britannico propose che lo stato a energia negativa fosse lo stato fondamentale della materia e da questo oceano (il mare di Dirac) potessero emergere gli elettroni che compongono il mondo. Questa interpretazione poneva però vari problemi matematici e fisici e fu gradualmente abbandonata (ciononostante questi concetti sono alla base, nel differente contesto della fisica atomica, di tutta la fisica dei semiconduttori alla base di diodi, transistor e computer). L’ipotesi successiva (1931) era ancora più rivoluzionaria: le altre due soluzioni rappresentavano antiparticelle, per esempio positroni, identici per massa e spin agli elettroni ma con carica elettrica opposta. Dirac aveva dunque correttamente postulato l’esistenza dell’antimateria: il positrone fu infatti osservato nel 1932 da Carl Anderson. Dirac avrebbe poi vinto nel 1933 il premio Nobel per la fisica insieme a Schroedinger,  Anderson nel 1936.

Concetti quantistici come il collasso della funzione d’onda o l’entanglement non entrano nella costruzione dell’equazione di Dirac, che è tra l’altro solo una di quelle utilizzate nella meccanica quantistica. Inoltre l’equazione di Dirac, vale solo per una sola particella libera di muoversi nello spazio intergalattico e che non interagisce con altri campi, particelle e meno che mai fidanzati, compagni e sposi. Ovviamente con i sistemi macroscopici e con l'amore non c'entra assolutamente niente. A struggersi sono solo i fisici e i matematici che ogni volta che la vedono scritta sbagliata hanno la stessa reazione che avesse una professora di itagliano cuando gli sbajano di scrivere.

Formule pizzose.

Dall’espressione classica:

Con p=mv l’impulso della particella (ossia E=1/2 mv2).

Si passa alla formulazione quantistica sostituendo:

Per ottenere l’equazione di Schroedinger:

Ma l’espressione relativistica dell’energia è:

Per cui l’equazione quantistica e relativistica è l’equazione di Klein Gordon:

Che però vale per le particelle a spin 0. Inoltre sarebbe preferibile avere una equazione lineare, in cui i quadrati non compaiono.

Questa equazione dovrebbe essere della forma:

dove

  sono oggetti sconosciuti.

L’equazione deve essere relativistica e dunque rispettare la formula sopra dell’energia per cui

Perché questo sia vero si devono annullare tutti i prodotti misti del tipo:

e questo è possibile solo se le X sono matrici quadrate di 4*4 elementi.

La funzione d’onda avrà pertanto quattro componenti:

in cui due componenti rappresentano l’elettrone (spin su e giù) e due il positrone (idem)

Il sistema di quattro equazioni può essere scritto in forma compatta (lo scompatteremo in un prossimo post) come si  trova incisa sul pavimento dell’abbazia di Westminster. Il gamma davanti alla derivata (spesso riportato come una barra sulla derivata) indica che abbiamo a che fare appunto con matrici di 4 per 4 elementi.