Cos’è la crescita esponenziale. Ovvero “E se i Vulcaniani ci avessero sempre preso in giro?”

 

Tra gli strafalcioni che si incontrano su libri, giornali e Tv, la ‘crescita esponenziale’ è  uno dei più classici. Questa iperbole retorica, non geometrica (anche se derivano entrambe dalla parola greca υπερβολή, eccesso), nel linguaggio (pseudo)giornalistico viene usata come sinonimo di ‘tantissimo’ e nel gergo romano potrebbe essere reso con ‘na cifra’.

Alcune chicche donate da google:

“…dovrebbe favorire una crescita esponenziale del plusvalore…”

“…sono però soprattutto segnati dalla crescita esponenziale della produzione di automobili…”

“..forze politiche nazionaliste e anti immigrazione che nei prossimi anni avranno una crescita di consensi esponenziale…”

“in Italia il numero dei veicoli circolanti senza RCA è cresciuto in misura esponenziale.”

“…a giudicare dalla crescita esponenziale di ditte di derattizzazione…”

In realtà, nessuno dei fenomeni o degli eventi descritti sopra segue una vera curva di crescita esponenziale, che richiede che il valore di cui si sta parlando raddoppi ogni giorno, mese, anno (sotto tra le formule pizzose una definizione più generale e rigorosa).

Alcuni esempi:

Esempio 1: una popolazione di cellule (o i  Tribbles di Star Trek) che si divide ogni 10 minuti seguirà una crescita esponenziale. Se parto da una cellula dopo 10 minuti ne avrò due, poi 4, 8, 16 e in generale:

N=2^{t/10 minuti}

Si chiama appunto esponenziale perché il trascorrere del tempo è all’esponente della funzione.

Con la notazione binaria è semplice calcolare il numero di cellule alla generazione t, basta aggiungere uno zero in fondo al numero precedente per raddoppiarlo.

1

10

100

1000

Nel mondo reale questo andamento non può proseguire all’infinito: in poche generazioni le cellule esauriscono le risorse del disco di coltura e la crescita si ferma (a meno che non riescano a mutare e conquistare il pianeta, la galassia, l’universo).

Esempio 10: Si narra che Sessa, l’inventore del gioco degli scacchi avesse chiesto al principe estasiato dalla sua creazione che gli fosse consegnato un chicco di riso nella prima casella, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così via fino a 2⁶³ chicchi sull’ultima casella.

Il numero complessivo di chicchi è 18,446,744,073,709,551,615, pari a 1645 anni di produzione mondiale  di riso. Questo valore è pari a 264-1, come si può vedere se lo scriviamo in notazione binaria.

Infatti per calcolare il numero complessivo di chicchi alla casella t basta aggiungere un 1 davanti al numero precedente.:

1

11  3 (2+1)

111 7 (4+2+1)

1111 15 (8+4+2+1)

Per cui con 64 caselle abbiamo:

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

I numeri di questo tipo sono detti numeri di Mersenne, da Marin Mersenne, frate francese dell’ordine dei Minimi, che per primo nel XVII secolo ne studiò le proprietà (formule pizzose sotto). Mersenne è anche considerato il padre dell’acustica.

Esempio 100: Nelle reazioni nucleari a catena, un prodotto del decadimento di un nucleo colpisce un altro nucleo producendo due frammenti che a loro volta ne producono 4 e così via.

La crescita esponenziale deve quindi richiamare immagini di cellule mutanti che inglobano il pianeta, o una scacchiera ricoperta di miliardi di tonnellate di riso o un’esplosione nucleare (la reazione nucleare delle centrali è controllata da un moderatore che assorbe parte dei prodotti di fissione).

Per questo parlare di crescita esponenziale di automobili sarebbe possibile solo in situazioni tipo Terminator (o al limite una versione porno dei Transformers).

Però quello che lascia stupiti, basiti (f4) è che un vulcaniano in un episodio di Discovery dica:  “quel numero [di navi perse dalla federazione] aumenterà esponenzialmente”. Ora, la diffusione del cloaking device che rende invisibili le navi klingon non li mette in grado di distruggere il doppio delle navi della federazione a ogni attacco.

Un vulcaniano di Discovery (pare sia Star Trek)

È facile dare anche questa colpa agli autori, che comunque tendono a sorvolare come se nulla fosse su eventi poco plausibili, Kurtzman non per nulla appartiene alla scuola di JJAbrams. In realtà vi è una ipotesi molto più inquietante: nella serie classica Spock snocciola più volte probabilità di sopravvivenza estremamente basse, ma con una precisione impossibile da calcolare anche per un vulcaniano. Nell’episodio in cui Kirk è sotto accusa davanti a una corte marziale il nostro alieno preferito parla di pianeti a gravità positiva, lasciando intendere che possano esistere pianeti a gravità negativa (impossibile dato che la gravità è solo attrattiva).

Gli esempi sono molteplici, ma tutti puntano ad una conclusione: i vulcaniani sanno che noi umani non capiamo nulla di matematica e sparano numeri a caso trollando Kirk o il capitano/ammiraglio di turno (e conseguentemente anche noi).

ps prima  era scritto sbagliato, 7 invece che 8. Errore segnalato da un avvocato,  peraltro.

Note pizzose:

1. La crescita esponenziale

2. I numeri di Mersenne

Bonus -  gioco di parole per chi è arrivato fino a qui (è una punizione non un premio) :
Tesseratto tesse ratto tesserato.

Podcast su aspetti della vita e cultura giapponese: Prima puntata - Metro e Manette

La sindrome di Hinomaru è un podcast realizzato in collaborazione con Omar Serafini, co-fondatore di Fantascientificast ed esperto di Kaiju ed altri mostroni della filmografia giapponese.

Si tratta di una serie di puntate duo-tematiche a cadenza mensile in cui tentiamo di discutere alcuni aspetti meno noti della vita e cultura giapponese. 

Il primo episodio, Metro e Manette, è focalizzato sulle luci ed ombre dei  trasporti pubblici e del sistema giudiziario giapponese.

Si tratta di chiacchierate che non vogliono avere la pretesa di completezza o di rappresentazione corretta dal punto di vista statistico dei vari fenomeni, cercheremo, per quanto possibile, di citare le fonti e i riferimenti.

   

Link di riferimento prima parte: 

• Fluidodinamica dei passeri giapponesi 
• Shosei Koda, turista giapponese ucciso in Iraq nel 2004 
•  Haruna Yukawa ostaggio ucciso dall’ISIS nel 2005 
•  Medagliette contro i maniaci in metro 
• Police launch chikan eradication campaign at Ikebukuro Station  
• Man dies in likely fall from building after groping accusation 
• Maniaci che scappano lungo la ferrovia 
• L’unico innocente? 
• Suicidi in Giappone 
• Tokyo’s “Human Accidentes”: Jinshin Jiko and the social meaning of train suicide  
• Sempre sui suicidi in Giappone.

Link di riferimento seconda parte: 

• Informazione e approfondimento giuridico sul Giappone (a cura di Andrea Ortolani) – 
• Condannati a morte e dintorrni.  Da burogu00, blog sul giappone 
• Ingiustamente detenuto nel braccio della morte– 
• Pena di morte – 
• Centro di detenzione – 
• Prison conditions in Japan (Human Rights Watch) – 
• Abusi sugli immigrati per lavoro in Giappone: articolo 1, articolo 2, – 
• Immigrati illegali in Giappone: articolo 1,articolo 2 – 
• Setta Aum: articolo 1, articolo 2, articolo 3, articolo 4, articolo 5.

I am G-ROOT

Actually it's version 2

L’accelerometro dello smartphone in treno e in aereo

In un post precedente abbiamo descritto come funziona l’accelerometro dello smartphone e come misurare l’accelerazione di gravità terrestre. A bordo di un veicolo possiamo misurare le accelerazioni cui esso è soggetto. Ad esempio, a bordo di un treno o di una metro, ci può fornire le accelerazioni e frenate tra le stazioni.

In figura sono mostrate le accelerazioni lungo i tre assi: quello z, verticale è più alto perché misura l’accelerazione di gravità; quello X, trasversale (destra-sinistra rispetto alla direzione del treno), misura le vibrazioni del treno le cui ruote sono confinate tra i binari. Lungo l’asse Y, diretto nella direzione in cui viaggia il  treno, possiamo misurare le accelerazioni (quando parte) e le frenate quando si ferma in stazione.

Su questo asse possiamo notare che vi è una accelerazione residua pari a 0.1 m/s2, segno che lo smartphone non era perfettamente ortogonale all’accelerazione di gravità. Il treno accelera fino a 0.7 m/s2  se sottraiamo il valore costante. L’accelerazione dura per circa 30 secondi, per cui la velocità finale del treno è circa 0.7*30 = 21 m/s cioè 75.6 km/h. Una stima della distanza percorsa in questi primi 30 secondi è circa 315 m. Il treno prosegue a velocità costante per altri 20 secondi (percorrendo altri 420 metri) per poi accelerare nuovamente per altri 10 secondi. Il treno poi frena per 40 secondi per fermarsi in stazione.  Dopo la fermata  accelera per ripartire.

L’accelerazione all’inizio raggiunge circa un decimo di g per circa mezzo minuto.

Nel caso del decollo di un aereo (adesso si possono tenere accesi gli smartphone) possiamo vedere le vibrazioni dovute al rullaggio sulla pista, l’accelerazione Y iniziale e poi il decollo vero e proprio. In questo caso l’aereo non è più parallela alla superficie e una componente dell’accelerazione di gravità è presente sull’asse Y.

Conviene quindi calcolare il modulo del vettore accelerazione e sottrarre l’accelerazione di gravità. In questo caso le fasi di rullaggio, accelerazione  e decollo risultano maggiormente evidenti. Anche qui osserviamo una piccola accelerazione residua dovuta alla precisione dello strumento, ma è possibile vedere quando l’aereo sta accelerando dopo il decollo. L’accelerazione può anche essere negativa: in questo caso, come per l’ascensore che scende, sentiremo lo stomaco salire verso l’alto. Non si tratta di veri e propri vuoti d’aria ma l’impressione è la stessa.

Per analizzare le vibrazioni possiamo ricorrere all’analisi spettrale di Fourier, ossia vedere a quali frequenze i veicoli tendono a vibrare maggiormente. In entrambi i casi vi è un picco alle basse frequenze dovuto alle vibrazioni molto lente e alla accelerazione di gravità che – essendo costante – ha frequenza zero.

Lo spettro delle vibrazioni dell’aereo è poi piatto a tutte le frequenze, ma mostra un picco intorno ai 2.25 Hz, ossia una oscillazione ogni mezzo secondo, dovuta probabilmente ai motori. Nel caso del treno lo spettro tende a diminuire alle alte  frequenze e vi è un picco a 0.25  Hz (4 secondi) dovuto alle vibrazioni causate dai segmenti dei binari.

Note:

1. Il segnale presenta una banda per via delle fluttuazioni delle letture dell’accelerometro. Queste fluttuazioni ci forniscono anche l’errore associato alla misura (circa 0.05 m/s2) e mostrano come i MEMS siano strumenti intrinsecamente ‘rumorosi’ che richiedono del processamento matematico per essere usati come strumenti di misura.
2. L’area sotto la curva rappresenta l’integrale dell’accelerazione ossia la velocità del treno a un dato istante. Se l’accelerazione è negativa e il treno sta frenando allora la velocità sta diminuendo. Alle stazioni sappiamo che il treno è fermo, per cui l’area complessiva (tenendo conto del segno) deve essere pari a zero. La distanza percorsa è pari all’integrale della velocità.
3. Sull’asse delle Y vi è una piccola accelerazione residua, dato che quando il valore non è zero. Questo è probabilmente dovuto al fatto che il telefono non era perfettamente in piano.

Perché non possiamo mettere il ghiaccio nel microonde

Ovvero, perché scongelare il cibo è difficile: il ghiaccio e il forno a microonde non sono mai andati d’accordo. Se mettessimo dei cubetti di ghiaccio nel forno, l’onda elettromagnetica rimbalzerebbe sulle facce dei cubetti stessi e sulle pareti del forno fino a tornare al klystron* che l’ha emessa, con il rischio di danneggiarlo. Per questo stesso motivo non si deve accendere il forno vuoto: il forno è progettato in maniera che l’onda elettromagnetica sia assorbita da qualcosa al suo interno.

Per provare in prima persona il disprezzo che il ghiaccio prova per le microonde, possiamo mettere dei cubetti in una tazza e dell’acqua in un altro contenitore e metterli entrambi nel microonde. Dopo un minuto l’acqua sarà bollente o quasi mentre i cubetti saranno ancora lì, imperturbati, o quasi.

Le microonde scaldano l’acqua agendo sul dipolo elettrico che ha ciascuna molecola e non sui legami molecolari come spesso si legge. Questi ultimi sono sensibili alle frequenze del vicino infrarosso, ossia a lunghezze d’onda (L) tra 0.75 μm e 1 μm, mentre il forno a microonde ha L=12 cm (tra l’altro i fori sulla porta del forno sono posti a una distanza inferiore della lunghezza d’onda in maniera che questa sia riflessa dal metallo e non possa uscire).

Schema di una molecola d’acqua. Gli elettroni sono più vicini all’atomo di ossigeno, creando un dipolo elettrico, con un eccesso di carica positiva (in rosso, indica una carenza di elettroni) dal lato degli atomi di idrogeno e un eccesso di carica negativa (in blu, eccesso di elettroni) vicino all’atomo di ossigeno. Il dipolo elettrico va dalla carica negativa a quella positiva ed è indicato dalla freccia blu.

Un dipolo elettrico può essere pensato come una calamita a barra, in cui i poli sono cariche elettriche stazionarie (mentre il dipolo magnetico è generato da cariche elettriche in movimento). La molecola d’acqua si forma con la condivisione degli elettroni dei due atomi di idrogeno con l’ossigeno. Questo –  più prepotente – si  appropria degli elettroni per più tempo di quanto sarebbe educato (l’ossigeno si giustifica dicendo che è maggiormente elettronegativo per cui gli orbitali atomici della molecola hanno una distribuzione di probabilità asimmetrica e centrata su di lui, ma resta il fatto che l’ossigeno è un cafone). Ciascuna molecola d’acqua è quindi debolmente positiva in prossimità dei due atomi di idrogeno e debolmente negativa vicino a quello di ossigeno. Risulta perciò dotata di un piccolo momento di dipolo. Quando viene colpito dalle microonde, il dipolo elettrico delle molecole d’acqua viene agitato in semi-oscillazioni orarie-antiorarie, con 2.45 miliardi di microscopici ‘togli la cera –metti la cera’ al secondo. Le molecole d’acqua si scaldano per attrito con quelle vicine, trasformando l’energia elettromagnetica in calorica con estrema rapidità ed efficienza.

Abbassando la temperatura, le oscillazioni termiche delle molecole d’acqua si riducono e i dipoli elettrici tendono ad allinearsi regolarmente in una struttura cristallina tramite un legame intermolecolare (legame idrogeno) che  la rende molto stabile (infatti ci vogliono 330 Joule per fondere un grammo di acqua, o 80 calorie) e refrattaria alle microonde. Per scongelare qualcosa conviene quindi regolare il forno al minimo della potenza per agire gradualmente sui liquidi in esso contenuti e far sì che siano loro a sciogliere il ghiaccio.

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* Un Magnetron è una piccola camera a vuoto in cui vengono accelerati elettroni tra due forti magneti permanenti: gli elettroni si impacchettano nel campo magnetico emettendo radiazione elettromagnetica a frequenza ben definita.

Articoli correlati:

Il Microonde (racconto)

Perchè il ghiaccio raffredda le bevande

(apparsi anche su scientificast)

Ritorno a Fukushima a sei anni dall'incidente.

Con Pio D’Emilia di Sky e Sefano Carrer de Il Sole 24 ore siamo tornati giovedì 9 marzo scorso  sui luoghi del disastro.

 Rispetto agli anni scorsi la radiazione è scesa a circa un decimo  e si vedono i segni di ricostruzione e di un progressivo ritorno alla normalità:

1. La radiazione a 1km dalla centrale è circa 2 muSv/h rispetto ai più di 20 del 2014. Nella regione di Fukushima, lontano dalla centrale, è circa un quarto di quella di Roma (0.1 muSv/h contro 0.4muSv/h)

2. La maggior parte del cesio 137 è stato lavato via dalle piogge. Questo isotopo ha circa 30 anni di tempo di dimezzamento, mentre il Cesio 134 che costituiva metà delle emissioni di Fukushima ha 2 anni di tempo di dimezzamento ed è praticamente sparito.

3. Le operazioni di bonifica riguardano la rimozione dei 10 cm superficiali del terreno contaminato. Questo corrisponde a migliaia di tonnellate di terriccio debolmente radioattivo che viene stoccato in montagne di buste nere di plastica (talvolta disperso nuovamente nell’ambiente a seguito di tifoni). Nonostante la radioattività sia trascurabile, nessuno si vuole prendere la responsabilità di disperdere questo materiale  a largo nell’oceano (che è infinitamente più radioattivo per via del potassio 40 e carbonio 14 in esso disciolto).

4. Le operazioni di messa in sicurezza della centrale proseguono: sono stati costruiti edifici di sicurezza intorno ai tre reattori che contengono i noccioli fusi e vengono effettuate misurazioni del materiale radioattivo in esso contenuto (i 700 Sv/h misurati circa un mese fa si riferiscono all’interno del reattore=. In questo caso, a differenza di Chernobyl, i tre gusci in cemento armato sono rimasti integri e non sono stati danneggiati dalla radiazione. Ciononostante il costo per decontaminare la zona ammonterà complessivamente a 100 miliardi di euro e richiederà circa 30 anni.

5. Molta gente vive ancora nelle case temporanee, dei microappartamenti di 20m2 in cui sono stati evacuati dopo l’incidente. Ora che l’ordine di evacuazione è stato rimosso in alcune zone, molti di essi potranno tornare nelle proprie case (anche se molte delle famiglie che hanno ricostruito la loro vita altrove avranno difficoltà a spostarsi di nuovo). I sussidi per gli sfollati (causa anche di casi di bullismo per i ragazzi sfollati) saranno comunque sospesi.

 6. La produzione agricola sta lentamente riprendendo, con quasi tutti i prodotti che passano le severissime soglie di 100 Bq/kg (le banane hanno 125  Bq/kg di potassio 40). Anche la pesca è finalmente ripresa al largo della costa della regione. Molte zone sono ancora contaminare e vi sono alcuni allevatori che si sono rifiutati di sopprimere i loro capi di bestiame dopo l’incidente e tengono in vita circa 300 mucche in sfida alle direttive del governo.

Meccanica Quantistica: Cos'è l'effetto Stark - Lo Surdo

Come visto in un post precedente, le lampade a fluorescenza emettono luce diseccitando gli elettroni del gas che contengono. Con una scarica elettrica questi passano ad un livello a energia più elevata: quando tornano allo stato fondamentale emettono luce con una lunghezza d’onda corrispondente alla differenza di energia tra i livelli atomici.  Ciascun elemento atomico ha un suo spettro di righe di emissione (e assorbimento), fisse e immutabili, definite dalla struttura atomica e dalle leggi della meccanica quantistica, che stabiliscono l’energia del fotone emesso nella transizione tra i due orbitali.

È possibile però alterare questi orbitali e modificarne l’energia corrispondente. Ponendo un  atomo in un campo elettrico, gli elettroni e, dotati di carica negativa, risentiranno della forza elettrostatica di Coulomb, passando in media più tempo nella regione a potenziale più alto e meno a quella a potenziale più basso. Gli orbitali atomici risultano distorti e la loro energia modificata  a seconda dell’orientazione del campo elettrico e della loro forma originale.

Ad esempio un orbitale sferico (s, quello a più bassa energia nel livello) risulterà allungato nella direzione del campo elettrico. Gli orbitali superiori (p), hanno la forma di tre birilli ciascuno parallelo ad uno degli assi cartesiani: quello orientato come il campo elettrico sarà quello maggiormente distorto e con uno spostamento maggiore di energia.

Perciò –ad esempio – nella transizione tra i livelli p, quella che era una riga spettrale unica, ossia luce di un solo colore, viene quindi divisa in varie righe a frequenza  diversa. Maggiore l’intensità del campo elettrico e maggiore sarà la separazione delle righe spettrali.

Questo è l’effetto Stark scoperto dal fisico tedesco nel 1913 e indipendentemente dall’italiano Lo Surdo. I due fisici osservarono il fenomeno in presenza di campo elettrico, contraddicendo le stime teoriche che supponevano un effetto molto più basso. Per la sua scoperta, Stark  vinse il premio Nobel nel 1919  (Lo Surdo no).

Al centro della macchia solare (scura), foto di sinistra il campo magnetico è più intenso. La linea del Ferro al centro dell’immagine di destra si divide in tre parti per l’effetto Zeeman. Foto delle 15:30 UT del 4 luglio 1974. La linea del ferro a  5250.2 Angstrom,  indica un campo magnetico di 4130 Gauss (0.4 Tesla, 10.000 volte più intenso di quello terrestre).  Credit: NSO/AURA/NSF

Un fenomeno analogo è l’effetto Zeeman, dovuto alla presenza del campo magnetico. Anche in questo caso le linee di emissione o assorbimento della luce vengono divise a seconda della forma degli orbitali atomici.  

Questi due fenomeni possono essere utilizzati al contrario: misurando le linee di emissione è possibile risalire all’intensità e alla disposizione del campo in una regione di spazio. Ad esempio in osservazioni astronomiche l’effetto Zeeman fornisce informazioni preziosissime sulla intensità e disposizione del campo magnetico sulla superficie del sole, delle stelle o anche in prossimità di buchi neri.

L’effetto Zeeman fu osservato per la prima volta dall’olandese Pieter Zeeman nel 1896.

Forte del suo premio Nobel, nel 1924 Stark iniziò a sostenere le idee di Hitler e diventò  uno dei maggiori sostenitori della fisica ‘tedesco-ariana’ in campo accademico. Pur di acquisire potere, fece di tutto per screditare le teorie quantistiche di Einstein e Heisenberg (che –tra l’altro - né lui né Lenard, altro nazi-nobel comprendevano perché la matematica era troppo complessa per loro). La più eclatante di tutte è la denuncia apparsa anonimamente, nell’organo di stampa ufficiale delle SS Das Schwarte Korps in cui diceva attaccava Heisenberg definendolo ‘un ebreo bianco’ per impedire  che gli fosse assegnata una cattedra a Monaco .  La fisica vera, nel frattempo , poco si interessava di politica per cui il progresso scientifico fu fortemente rallentato dalla pseudoscienze  esoteriche  naziste. Dopo la guerra Stark fu condannato a 4 anni di reclusione, poi condonati, per aver preso parte ad attività naziste. Morì nel 1957.

Sherlock ed UFO

A sinistra: Il colonnello Virginia Lake, della Shado. A destra, la Signora Holmes, formalmente matematica in pensione.
 Nonostante gli anni trascorsi, la somiglianza è innegabile.

(Spoilers medi, non leggete se non avete visto tutti gli epidodi di Sherlock)

Con il terzo episodio della quarta stagione, si concludono - almeno per il momento - le avventure di Sherlock Holmes nella sua ultima incarnazione.  

Le recenti cronache del più famoso investigatore del mondo hanno sconcertato molte persone, soprattutto di fronte alle apparenti capacità sovrumane di Eurus, sorella minore di Sherlock e Mycroft.    

Tuttavia, documenti segreti del governo  mostrano come la Signora Holmes, madre dei tre geniali fratelli, facesse parte - negli anni '80 - di una organizzazione segreta volta alla difesa della terra da attacchi alieni, la Shado.  Mrs Holmes è infatti in realtà il Colonnello Virginia Lake, a quei tempi braccio destro del Comandante Straker (La sua professione di matematica è evidentemente solo una copertura).

Il governo di Sua Maestà è venuto in possesso di tecnologia aliena combattendo gli extraterrestri in quegli anni. Si può quindi ipotizzare che questa tecnologia  sia stata utilizzata sui tre fratelli, soggetti involontari di esperimenti volti a creare delle menti ed intelligenze superiori. Nel caso di Eurus hanno probabilmente esagerato ed è andata male.

(Questo oppure la sceneggiatura è piena di buchi e incongruenze...)