Cos’è la crescita esponenziale. Ovvero “E se i Vulcaniani ci avessero sempre preso in giro?”

 

Tra gli strafalcioni che si incontrano su libri, giornali e Tv, la ‘crescita esponenziale’ è  uno dei più classici. Questa iperbole retorica, non geometrica (anche se derivano entrambe dalla parola greca υπερβολή, eccesso), nel linguaggio (pseudo)giornalistico viene usata come sinonimo di ‘tantissimo’ e nel gergo romano potrebbe essere reso con ‘na cifra’.

Alcune chicche donate da google:

“…dovrebbe favorire una crescita esponenziale del plusvalore…”

“…sono però soprattutto segnati dalla crescita esponenziale della produzione di automobili…”

“..forze politiche nazionaliste e anti immigrazione che nei prossimi anni avranno una crescita di consensi esponenziale…”

“in Italia il numero dei veicoli circolanti senza RCA è cresciuto in misura esponenziale.”

“…a giudicare dalla crescita esponenziale di ditte di derattizzazione…”

In realtà, nessuno dei fenomeni o degli eventi descritti sopra segue una vera curva di crescita esponenziale, che richiede che il valore di cui si sta parlando raddoppi ogni giorno, mese, anno (sotto tra le formule pizzose una definizione più generale e rigorosa).

Alcuni esempi:

Esempio 1: una popolazione di cellule (o i  Tribbles di Star Trek) che si divide ogni 10 minuti seguirà una crescita esponenziale. Se parto da una cellula dopo 10 minuti ne avrò due, poi 4, 8, 16 e in generale:

N=2^{t/10 minuti}

Si chiama appunto esponenziale perché il trascorrere del tempo è all’esponente della funzione.

Con la notazione binaria è semplice calcolare il numero di cellule alla generazione t, basta aggiungere uno zero in fondo al numero precedente per raddoppiarlo.

1

10

100

1000

Nel mondo reale questo andamento non può proseguire all’infinito: in poche generazioni le cellule esauriscono le risorse del disco di coltura e la crescita si ferma (a meno che non riescano a mutare e conquistare il pianeta, la galassia, l’universo).

Esempio 10: Si narra che Sessa, l’inventore del gioco degli scacchi avesse chiesto al principe estasiato dalla sua creazione che gli fosse consegnato un chicco di riso nella prima casella, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così via fino a 2⁶³ chicchi sull’ultima casella.

Il numero complessivo di chicchi è 18,446,744,073,709,551,615, pari a 1645 anni di produzione mondiale  di riso. Questo valore è pari a 264-1, come si può vedere se lo scriviamo in notazione binaria.

Infatti per calcolare il numero complessivo di chicchi alla casella t basta aggiungere un 1 davanti al numero precedente.:

1

11  3 (2+1)

111 7 (4+2+1)

1111 15 (8+4+2+1)

Per cui con 64 caselle abbiamo:

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

I numeri di questo tipo sono detti numeri di Mersenne, da Marin Mersenne, frate francese dell’ordine dei Minimi, che per primo nel XVII secolo ne studiò le proprietà (formule pizzose sotto). Mersenne è anche considerato il padre dell’acustica.

Esempio 100: Nelle reazioni nucleari a catena, un prodotto del decadimento di un nucleo colpisce un altro nucleo producendo due frammenti che a loro volta ne producono 4 e così via.

La crescita esponenziale deve quindi richiamare immagini di cellule mutanti che inglobano il pianeta, o una scacchiera ricoperta di miliardi di tonnellate di riso o un’esplosione nucleare (la reazione nucleare delle centrali è controllata da un moderatore che assorbe parte dei prodotti di fissione).

Per questo parlare di crescita esponenziale di automobili sarebbe possibile solo in situazioni tipo Terminator (o al limite una versione porno dei Transformers).

Però quello che lascia stupiti, basiti (f4) è che un vulcaniano in un episodio di Discovery dica:  “quel numero [di navi perse dalla federazione] aumenterà esponenzialmente”. Ora, la diffusione del cloaking device che rende invisibili le navi klingon non li mette in grado di distruggere il doppio delle navi della federazione a ogni attacco.

Un vulcaniano di Discovery (pare sia Star Trek)

È facile dare anche questa colpa agli autori, che comunque tendono a sorvolare come se nulla fosse su eventi poco plausibili, Kurtzman non per nulla appartiene alla scuola di JJAbrams. In realtà vi è una ipotesi molto più inquietante: nella serie classica Spock snocciola più volte probabilità di sopravvivenza estremamente basse, ma con una precisione impossibile da calcolare anche per un vulcaniano. Nell’episodio in cui Kirk è sotto accusa davanti a una corte marziale il nostro alieno preferito parla di pianeti a gravità positiva, lasciando intendere che possano esistere pianeti a gravità negativa (impossibile dato che la gravità è solo attrattiva).

Gli esempi sono molteplici, ma tutti puntano ad una conclusione: i vulcaniani sanno che noi umani non capiamo nulla di matematica e sparano numeri a caso trollando Kirk o il capitano/ammiraglio di turno (e conseguentemente anche noi).

ps prima  era scritto sbagliato, 7 invece che 8. Errore segnalato da un avvocato,  peraltro.

Note pizzose:

1. La crescita esponenziale

2. I numeri di Mersenne

Bonus -  gioco di parole per chi è arrivato fino a qui (è una punizione non un premio) :
Tesseratto tesse ratto tesserato.

Quanto lo facciamo lungo ‘sto pi greco?

E come disse il mio prof di matematica già iscritto a scienza coatta più di 30 anni fa: “Regà quanto vale pi greco?”
Alla risposta: “3,14”
“A regà con 3.14 ce poi calcolà la circonferenza der cocomero, pe annà sulla luna ce vole altro 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679…”

Valerio Bocci, Nobel acceptance speech, Stockholm, 2035.

Pi greco è il rapporto tra la circonferenza e il diametro del cerchio. È un numero irrazionale (non può essere scritto come frazione) e trascendente (non è soluzione di una equazione algebrica come ). È greco  perché fu nell’antica Grecia che ci si interrogò sulla natura di questo valore, anche se egizi e babilonesi avevano già trovato formule approssimate.  

Nonostante sia composto di infinite cifre dopo la virgola, pi greco può essere calcolato come somma infinita di vari numeri. Una di queste è quella di Leibniz:

ossia se vi accontentate di un quarto di pi greco basta sommare a segni alterni gli inversi di tutti i numeri dispari.  Oppure moltiplicate tutti i numeri pari e divideteli per tutti i numeri dispari, elevate al quadrato e avrete mezzo pi greco. Al di là delle dimostrazioni algebriche, questo assieme alla meccanica quantistica e all’energia oscura dimostrano che l’universo e/o chi lo ha creato ha un senso dello humor molto discutibile.  

Vi è poi una gara a chi calcola più cifre di pi greco, al momento il record dovrebbe essere13.3 fantastiliardi  (sic.) 13.3 trilioni di cifre. (A chi  potrebbe obiettare che sia una attività discutibile, rispondete che è meglio che prendere 22 umani e far tirare loro calci a una cosa che non è neanche una sfera  ma un icosaedro tronco ma paffuto).

Quindi quante cifre di pi greco vengono usate nelle applicazioni pratiche? 2, ossia il classico 3.14,  per la circonferenza del cocomero, e 15 – 16 per le applicazioni spaziali, soprattutto del GPS, che richiedono misure di tempo così precise da dover tener conto anche degli effetti della relatività generale.

E per andare sulla Luna? Il programma Apollo fu l’unico programma spaziale che abbia portato l’uomo non solo su un altro corpo celeste ma ben oltre i miseri 400-600  km dell’orbita bassa, sul finire degli anni Sessanta. I computer erano a memorie di ferrite: immaginate una cotta di maglia in cui ciascun anello rappresenti un bit e – seppur estremamente affidabili e allo stato dell’arte per l’epoca – aveva risorse molto ridotte. Ciascun numero (word) era immagazzinato a 16 bit, con una capacità di memoria di 2048  valori. La memoria di massa (36864 words) era costituita da una serie di fili che – se passavano all’interno di  in un anello di ferrite valevano uno e  se passavano all’esterno valevano 0. Qui un video su come veniva intessuta la memoria.

Core rope memory (prototipo) da wikipedia

Vi erano due computer identici nella missione Apollo, uno per il modulo di comando (che comprende la capsula in cui gli astronauti partivano e tornavano sulla terra) ed uno per il LEM (quello che allunava): non avevano tastiera o monitor, solo un tastierino numerico per inserire i comandi (nella forma VERBO/ ad esempio “dammi”  NOME/ ad esempio “la velocità”) ed un display a LED per visualizzare la risposta.

Il computer dell’Apollo

Vi sono alcuni simulatori che riproducono il funzionamento di questa fantastica macchina. Qui vi è anche il codice sorgente che rivela come  il valore di pi grevo per andare sulla luna fosse: 3.14159266, ossia con 8 cifre decimali.

Questo post è stato ispirato da una discussione con il sopracitato Valerio Bocci su quante cifre di pi greco servissero per andare sulla luna.  Valerio lavora all’INFN e al CERN  ha ideato e progettato elettronica e sistemi di acquisizione  per i più grandi esperimenti di fisica delle particelle degli ultimi 25 anni, recentemente con il suo gruppo ha realizzato un rivelatore di particelle didattico basato sulla scheda scheda arduino due

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Immagine di copertina: mosaico all’Università Tecnica di Berlino (wikimedia commons) (ribloggato da scientificast.it )

In attesa dell'Apocalisse (1): La matematica Maya

Questo è il primo di una serie di post sui Maya e la loro cosiddetta profezia, secondo la quale il mondo dovrebbe finire a causa di una catastrofe cosmica il 21 dicembre del 2012. A costo di rovinare il finale è possibile affermare che la profezia è una completa sciocchezza: tuttavia, la storia dei Maya racchiude ancora molti misteri non solo archeologici ed è ricca di vicende di rilevanza cruciale per il mondo di oggi. Dare ascolto alle ‘profezie’ ed a cataclismi presunti non fa altro che distogliere l’attenzione dai reali eventi catastrofici che hanno caratterizzato la complessa storia di questo popolo e che possono riproporsi – con le dovute analogie e specificità - su scala mondiale anche al giorno d’oggi. Questo antico popolo è stato infatti soggetto alla maggior parte di quegli stessi eventi catastrofici che minacciano  su scala planetaria – realmente o nell’immaginario collettivo - la nostra civiltà. 

I post sono basati sul libro Mai più Maya, disponibile  onlineda ebrooks.it, dove è possibile scaricarlo liberamente a questo indirizzo. 

L'aritmetica dei Maya

I Maya misero a punto una matematica estremamente avanzata ed efficiente, fondamentale per i loro successi nei calcoli astronomici. L'impostazione era in base 20 (il numero delle dita delle mani e dei piedi) con simboli che vanno da 0 a 19. Quella occidentale, come è noto, è in base 10 (il numero di dita delle mani) e, originariamente, non conosceva lo zero. Con lo zero è molto più semplice effettuare addizioni e sottrazioni di quanto non fosse possibile con la notazione greca e romana.

I numeri da 0 a 19 secondo la rappresentazione dei Maya.
I glifi potevano essere scritti anche in verticale e sostituiti
da rappresentazioni più complesse nelle stele e documenti più elaborati.

I Maya utilizzavano tre simboli: lo zero (un cerchietto), l’unità (un pallino) e il cinque (un trattino), a comporre una figura unica per ciascuna cifra da 0 a 19. I caratteri possono essere scritti sia in verticale che in orizzontale.

Nella nostra numerazione, anch'essa indiana ma tramandataci dagli Arabi, è la posizione della cifra a decretarne l'importanza: ogni volta che ci si sposta a sinistra, lo stesso simbolo va moltiplicato per dieci. Quindi la prima cifra indica unità, la seconda decine, la terza centinaia e così via per le potenze di dieci.

Se nella nostra notazione la posizione di una cifra a sinistra incrementa il valore di 10 volte rispetto a quella sita alla sua destra, nel caso dei Maya l'incremento è di 20: perciò 14.7 corrisponde a 14*20+7=287, e 4.9.6 corrisponde al nostro 1.786, perché 4*20*20=1600 e 9*20=180, quindi 1600+180+6 = 1.786. Nelle stele ed iscrizioni ufficiali i numeri potevano essere rappresentati anche da glifi più elaborati e complessi, di solito nelle due varianti a figura completa e sola testa. Nelle iscrizioni più formali i glifi con i numeri da 1 a 19 erano affiancati da quelli dell’esponente, con glifi che rappresentavano il valore di 1, 20, 400, 8.000 e così via sino a 20²¹ed oltre.

L’importanza dello zero 

Il concetto dello zero era sconosciuto a greci e romani, ed è stato introdotto in Europa nel XII secolo, proveniente dagli indiani e portato in Occidente dagli Arabi.

Lo zero consente di adottare una notazione numerica posizionale, come quella utilizzata ai giorni nostri ed è di cruciale importanza per lo sviluppo della matematica superiore. In questa maniera non solo addizioni e sottrazioni, ma anche moltiplicazioni e divisioni risultano relativamente semplici: per moltiplicare per venti nel sistema Maya basta infatti “aggiungere uno zero”, ossia spostare le cifre a sinistra di una posizione. Analogamente, per effettuare divisioni, è sufficiente spostarsi verso destra, operazione possibile anche per i numeri frazionari dopo la virgola.

Lo zero è presente in molte rappresentazioni numeriche dei popoli del Centro America, ma non è chiaro chi abbia introdotto per primo questo importante concetto. La stele più antica che utilizza questa notazione riporta una data corrispondente al 32 a.C. secondo il calendario di lungo computo per cui l’invenzione dello zero deve essere precedente al manufatto. Questo si trova in territorio olmeco, ma questo popolo si era già estinto nel IV secolo a.C., per cui – in assenza di ulteriori ritrovamenti – non è possibile far luce neanche su quest’altro mistero.

 I numeri da 0 a 19 in una delle molteplici rappresentazioni pittoriche.
(elaborato da Cyrus, T., Maya Calendar Systems,  Washington, 1904)

La notazione utilizzata nei calendari maya era però leggermente diversa da quella descritta sopra e non completamente posizionale: la terza cifra non aveva un valore di 400 (20*20), come sarebbe logico attendersi, ma quello di 360. Questa scelta era probabilmente legata alla durata dell’anno solare, più vicino, con i suoi 365 giorni, a questo valore. L’uso di questa notazione era evidentemente studiato per facilitare i calcoli astronomici, sottolineando l'importanza di questa scelta. D'altro canto, però, avrebbe reso impossibile effettuare moltiplicazioni e divisioni nella pratica quotidiana. Si pensi inoltre che numericamente parlando si contava da 0 a 399 per ripartire da 360, con i numeri da 360 a 399 indicabili in due modi diversi. È comunque ragionevole che numeri superiori a 400 fossero poco frequenti ma non assenti nella quotidianità non solo dei Maya, ma anche degli altri popoli del periodo. È quindi possibile che anche per i sistemi di numerazione esistessero più versioni, per esempio una civile e l'altra astronomico/religiosa.

E' plausibile che una notazione completamente posizionale, con il 400 al posto giusto, fosse utilizzata nella vita di tutti i giorni e nel commercio. Ad esempio gli Aztechi – per rendere più agevoli i calcoli di ogni giorno – oltre alla notazione del calendario ricorrevano ad una serie di glifi per numerare ed indicare 20 o 400 esemplari di una data merce. Purtroppo i resti archeologici maya ci forniscono informazioni esclusivamente su date astronomiche o storiche e non sulla vita di tutti i giorni. Pertanto è ancora incerto l’uso che i Maya facevano della matematica al di fuori dei templi e dei palazzi reali: data l’importanza delle date e degli eventi astronomici per formulare gli auspici e la sorte nella vita di tutti i giorni, è plausibile ritenere che le notazioni e le basi matematiche fossero note e praticate nell'uso comune. Ai sacerdoti restava l'appannaggio dei calcoli più complessi del calendario, del calcolo delle date di solstizi ed equinozi e soprattutto dei giorni fausti ed infausti. Agli occhi dei monarchi e della popolazione, questo giustificava il loro ruolo, la loro autorevolezza e la loro sopravvivenza. Così fu, sino al crollo dell’era classica, che è stata la vera fine del mondo dei Maya.

1. Continua

I post sono basati sul libro Mai più Maya, scaricabile gratuitalmente a questo indirizzo. 

(10)  Il crollo della civiltà Maya

(9) Il vero mistero dei Maya

(8) Maya e Millennium bug

(7) Più vecchio dell'Universo: la stele di Coba
(6) Il tredicesimo Baktun dei Maya ed il loro inizio senza fine

.(5) Gli strabilianti calendari Maya

(4) Terence McKenna e la non-profezia

(3) L'astronomia

(2) L'ebook

(1)  La matematica

Recensione de "La Matematica del migrante"

"Quando la maestra cominciò ad insegnarci a leggere i numeri dell’orologio, io non avevo difficoltà a seguirla; notavo che anche la bimba marocchina non faceva fatica a capire, ma più veloce di tutti andava il bambino cinese"

L'insiemistica  per descrivere le conoscenze
 dei bambini provenienti da tutto il mondo 

Così scrive Besa Nuhi Mone nel suo e-libro "La Matematica del migrante", pubblicato da quintadicopertina. Il racconto dell'autrice, giunta da piccola in Italia dall'Albania è piacevole ed affascinante soprattutto per il peculiare punto di vista. La matematica viene usata per descrivere varie condizioni del migrante: dalla parabola dell'immigrato, giunto - secondo l'autrice - al suo punto più basso prima di lasciare il suo paese d'origine alla curva esponenziale per descrivere l'accoglienza dello "straniero". Soprattutto la matematica è lingua universale, l'unica - assieme alle favole - che accomunava i bambini nell'asilo  multietnico frequentato dall'autrice e che era propria delle conoscenze di tutti.
Un libro agevole, ben scritto e che riesce a trattare temi ed argomenti d'attualità con originale freschezza. 

L’autrice

Besa Mone è nata a Durazzo e si è laureata in Albania in matematica e fisica. Nel 1997 si è trasferita in Italia, dove si è specializzata nella mediazione linguistico-culturale. Ha pubblicato un “Manuale matematico bilingue” e suoi racconti sono comparsi nelle antologie delle prime cinque edizioni del concorso Lingua Madre (dal 2006 al 2010).

Le scale mobili giapponesi, le autostrade cinesi ed il bosone di Higgs: rottura di simmetria e difetti topologici

Scale mobili a Tokyo: per
convenzione si sta fermi a
sinistra e si cammina a
destra. Ad Osaka è
l'opposto. Da qui.

La regola è chiara: a Tokyo e nel Kanto, sulle scale mobili, si sta fermi sulla sinistra e si cammina sulla destra. Non è chiaro come e quando si sia giunti a questo tacito accordo, ma -  come nel caso del traffico automobilistico – anche l’opposto è perfettamente accettabile. Infatti nel Kansai la convenzione è opposta: nelle città di Kyoto, Osaka e Kobe si sta fermi sulla destra e si lascia lo spazio per camminare sulla sinistra.

La regola della scala mobile è un esempio di “rottura spontanea della simmetria” che incontriamo ovunque nel nostro mondo. Il nostro corpo ci fornisce un altro esempio: il cuore si trova a sinistra ed il fegato  a destra, anche se in alcuni individui la disposizione degli organi è speculare . In questi casi vi sono solo due possibilità: destra o sinistra (e si parla più propriamente di parità), ma si possono immaginare esempi più complessi: immaginate di prendere uno spillo e tenerlo  in verticale con un dito  facendogli toccare il tavolo con l'altra estremità. Lasciato il dito lo spillo cadrà in una direzione a caso: Si è passati da una configurazione simmetrica (lo spillo in verticale) ad una asimmetrica (lo spillo caduto da un lato). 

In un materiale ferroso si passa
da uno stato  disordinato ma
 simmetrico ad  uno ordinato
 in cui la simmetria  è rotta dalla
 direzione della calamita che si
è venuta a formare. 

Lo stesso accade in un materiale ferroso: anche se inizialmente smagnetizzato, dopo un certo tempo si magnetizzerà spontaneamente diventando quindi una calamita. Microscopicamente, le mini-calamite costituite dai dipoli atomici si sono allineate tra loro passando da uno stato disorganizzato e casuale ad uno ordinato (ad energia più bassa e dunque più stabile) in cui tutti i dipoli puntano nella stessa direzione.

Si ritiene che un fenomeno analogo sia avvenuto nei primi istanti di vita dell’universo: si è passati da uno stato perfettamente simmetrico in tutte le particelle non hanno massa ad uno asimmetrico (ma ad energia più bassa), in cui le particelle elementari che compongono il nostro universo hanno masse tutte diverse tra loro. Nel caso dello spillo, il responsabile della rottura di simmetria è il nostro dito, nel caso delle particelle elementari, il “colpevole” di questa rottura di simmetria dovrebbe essere  il bosone di Higgs (il condizionale è d'obbligo dato che non è stato ancora trovato con certezza).

Schema dei domini di Weiss
in un materiale ferromagnetico
da qui

Torniamo al nostro pezzo di ferro: spesso la magnetizzazione non è uniforme. Può accadere che parti del metallo si magnetizzino in direzioni diverse. Queste microscopiche regioni in cui la magnetizzazione è uniforme prendono il nome di domini di Weiss, dal nome del suo scopritore. Particolarmente interessante è quanto avviene al confine tra questi lillipuziani paesi: la transizione tra un dominio e l’altro crea delle discontinuità, delle “zone di nessuno” (o domain wall) che esibiscono particolarità geometriche e matematiche molto particolari. 

La strada da Hong Kong alla Cina
collega regioni in cui si guida in
verso opposto: è quindi un esempio
macroscopico di difetto
topologico.

Nell'autostrada che collega Hong Kong alla Cina è possibile vedere una di queste transizioni, creata apposta per facilitare il passaggio dal primo paese, con la guida a sinistra al secondo, in cui si guida a destra. 

In Giappone non c'è nulla di simile nel caso delle scale mobili, anche se ci si potrebbe immaginare una fantastica città di Escheriana memoria, sita tra il Kansai ed il Kanto, in cui si passa da una convenzione all'altra.  

E per il nostro universo? La questione è ancora aperta: la teoria del Big Bang prevede un’espansione talmente rapida del nostro universo che la rottura di simmetria regolata dal bosone di Higgs potrebbe essere avvenuta in maniera diversa in punti diversi del nostro universo. Lì le  leggi della fisica potrebbero essere diverse dalle nostre.   Messaggeri di questi remoti angoli dell'universo potrebbero essere i difetti topologici, strutture geometriche simili ma infinitamente più complesse dell'autostrada cinese che potrebbero giungere anche sul nostro pianeta. Al momento sono relegati nel mondo della fisica teorica e della fantascienza, ma esperimenti in corso di progettazione hanno in programma la ricerca di queste splendide rarità. 

Leggende della metropolitana giapponese, ovvero la statistica dei passeggeri.

Eventi apparentemente inspiegabili e contro logica sono spesso causa di leggende metropolitane e di racconti bizzarri: molto spesso sono in realtà  dovuti alle ben più prosaiche leggi della statistica. Uno di questi, è l'apparente difficoltà dei giapponesi a sedersi accanto ad uno straniero, lasciando libero il posto o i posti accanto a lui. Anche se in alcuni rari casi è possibile che ciò sia un atto voluto, è spesso dovuto alle semplici leggi del caso.

Esaminiamo un caso ancora più raro della "fuga dallo straniero": viaggiando nei treni dell'area di Tokyo, si può talvolta osservare tutti i passeggeri di un lato del vagone (che pur non si conoscono tra loro) scendere  alla stessa stazione, mentre quelli di fronte proseguono nel loro viaggio. Per calcolare la probabilità che ciò accada è necessario ricordare che la maggior parte dei treni metropolitani giapponesi ha quattro porte per lato, 54  posti a sedere ed un numero pressoché illimitato di posti in piedi nell'ora di punta. Ai lati del vagone vi sono 6 posti riservati a persone anziane, incinte o disabili, (tre per lato), ed al centro vi sono sei gruppi di 7 posti.

Una delle estremità di un vagone: tre sedili per lato. 

Qual'è la possibilità che tre persone da un lato scendano e le tre di fronte rimangano sul treno? Non è così eccezionale come si potrebbe immaginare:  se chiamiamo p la probabilità che una persona scenda ad una data stazione, la probabilità che quella persona non scenda è 1-p (oppure se P è la percentuale di persone che scendono 100-P è la percentuale di persone che rimangono).

La possibilità che tre persone scendano da un lato è dunque p*p*p=p³. Se voglio che  altre 3 persone non scendano la probabilità  è (1-p)*(1-p)*(1-p). La probabilità che tre persone scendano da un lato e le tre di fronte non scendano è  p ³*(1-p)³.

Il vagone del treno prima della stazione (sopra): in rosso i
sedili pieni ed in blu quelli vuoti. Alla stazione (sotto)- dei sei posti laterali
(sulla sinistra) scendono solo i viaggiatori che stanno da un lato 

Ora supponiamo che ad una stazione scenda il 50% delle persone: in questo caso la configurazione "impossibile" ha una probabilità di (0.5*0.5*0.5*0.5*0.5*0.5=0.5^6)=0.0156 ossia l'1.56% . E' come se - tirando una moneta  per sei volte di fila, capiti di fare tre volte testa di fila e poi tre volte croce. 

La probabilità che solo una parte dei viaggiatori
scenda (asse Y), in funzione della probabilità
di scendere  di una singola persona
ad una data stazione (asse X, moltiplicare per 100
per avere la percentuale).
Dall'ottimo sito di wolfram alpha

Se si percorre una ventina di stazioni al giorno la probabilità è dunque 1.56%*20=0.315 ossia poco più del 30%, e dunque non così rara...

Se la probabilità  di scendere è più alta (nelle stazioni principali) o più bassa (in quelle meno affollate) la configurazione "magica" avrà meno possibilità di apparire:  basta pensare ai casi estremi. Infatti  se tutti scendono o se nessuno scende ad una data stazione è impossibile che metà delle persone resti a bordo e metà scenda. Per tutte le vie di mezzo l'andamento è descritto dalla formula sopra e mostrato in figura accanto.

E per i sedili centrali? In quel caso la probabilità che 7 persone da un lato scendano e tutte quelle di fronte rimangano sul treno è 0.5¹⁴  =6*10^-5 ossia lo 0.006%. (nota, avevo scritto 0.5^7, mentre è alla 14, 7 da una parte e sette dall'altra, ma la probabilità è giusta). Praticamente impossibile? Sì, ma se consideriamo un treno di 10 vagoni che transita  ogni 5 minuti per 20 ore al giorno ed un centinaio di linee di metro e ferroviarie, abbiamo circa 10 milioni di possibilità (9.6 milioni), per cui l'evento impossible si verifica  almeno 60 volte al giorno nell'area di Tokyo.


Un ringraziamento ad Alessandro Clementi ed Andrea Secco per gli interessanti spunti e discussioni. Grazie ad Alessandro per essersi accorto che l'esponente nel caso dei sedili lunghi è 14 e non 7.